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【学习笔记】数学笔记其一 · 一些常见的积分技巧

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#学习笔记#高等数学
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15 分钟

∫x2−1 dx\int \sqrt{x^2-1}\,\mathrm{dx} 看着很简单吧？速逃。别回头。

众所周知，任何有理函数都可积。但其解法五花八门之严重导致新手入门入了门还在入门，看似简单的函数积出来却两张纸写不下。在题里算错得到，浪费大量时间则更致命（因为很少有非主观题会考特别复杂的积分）

ps: 扩展了一下。有理+根号下有理的情况也很多，也很重要。

有理函数积分难度速识（这张图可花了我不少功夫）
有理函数积分难度速识（这张图可花了我不少功夫）
图中按难度递进为

  • 灰 - 入门/显式积分表
  • 蓝 - 需要大脑活动参与
  • 绿 - 要一点小巧思
  • 黄 - 基础十分坚实
  • 橙 - 奔最优解法直线走也比较费劲
  • 红 - 以这张图的范围，再难也难不到解不开的程度……吧？
    • 其实是外形骗人的额外恶心分

答案（建议中键to新标签页）

1x2\frac{1}{x^2}1x\frac{1}{x}11xxx2x^2
1x2(x2−c2)\frac{1}{x^2(x^2-c^2)}1x(x2−c2)\frac{1}{x(x^2-c^2)}1x2−c2\frac{1}{x^2-c^2}xx2−c2\frac{x}{x^2-c^2}x2x2−c2\frac{x^2}{x^2-c^2}
1x2x2+c2\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+c^2}}1xx2+c2\frac{1}{x\sqrt{x^2+c^2}}1x2+c2\frac{1}{\sqrt{x^2+c^2}}xx2+c2\frac{x}{\sqrt{x^2+c^2}}x2x2+c2\frac{x^2}{\sqrt{x^2+c^2}}
1x2x2−c2\frac{1}{x^2\sqrt{x^2-c^2}}1xx2−c2\frac{1}{x\sqrt{x^2-c^2}}1x2−c2\frac{1}{\sqrt{x^2-c^2}}xx2−c2\frac{x}{\sqrt{x^2-c^2}}x2x2−c2\frac{x^2}{\sqrt{x^2-c^2}}
1x2(x+c)\frac{1}{x^2(x+c)}1x(x+c)\frac{1}{x(x+c)}1x+c\frac{1}{x+c}xx+c\frac{x}{x+c}x2x+c\frac{x^2}{x+c}
1x2x+c\frac{1}{x^2\sqrt{x+c}}1xx+c\frac{1}{x\sqrt{x+c}}1x+c\frac{1}{\sqrt{x+c}}xx+c\frac{x}{\sqrt{x+c}}x2x+c\frac{x^2}{\sqrt{x+c}}
x+cx2\frac{\sqrt{x+c}}{x^2}x+cx\frac{\sqrt{x+c}}{x}x+c\sqrt{x+c}xx+cx\sqrt{x+c}x2x+cx^2\sqrt{x+c}
x+cx2\frac{x+c}{x^2}x+cx\frac{x+c}{x}x+cx+cx(x+c)x(x+c)x2(x+c)x^2(x+c)
x2−c2x2\frac{\sqrt{x^2-c^2}}{x^2}x2−c2x\frac{\sqrt{x^2-c^2}}{x}x2−c2\sqrt{x^2-c^2}xx2−c2x\sqrt{x^2-c^2}x2x2−c2x^2\sqrt{x^2-c^2}
x2+c2x2\frac{\sqrt{x^2+c^2}}{x^2}x2+c2x\frac{\sqrt{x^2+c^2}}{x}x2+c2\sqrt{x^2+c^2}xx2+c2x\sqrt{x^2+c^2}x2x2+c2x^2\sqrt{x^2+c^2}
x2−c2x2\frac{x^2-c^2}{x^2}x2−c2x\frac{x^2-c^2}{x}x2−c2x^2-c^2x(x2−c2)x(x^2-c^2)x2(x2−c2)x^2(x^2-c^2)

这个网站真的很好用，可惜没开源 TAT

初学级 - 灰蓝色部分

快速线性换元

对于形如 f(ax+b)f(ax+b) 的积分，直接利用 dx=1ad(ax+b)\mathrm{d}x = \frac{1}{a}\mathrm{d}(ax+b)得

∫f(ax+b) dx=1aF(ax+b)+C\int{f(ax+b) \,\mathrm{d}x}=\frac{1}{a}F(ax+b)+C

因式分解与分式裂项

就是用初中数学原理翻腾一遍多项式。

例如：

∫1x2−c2 dx(因式分解)=∫1(x−c)(x+c) dx(分式裂项)=∫12c(1x−c−1x+c) dx=12cln⁡∣x−cx+c∣+C\begin{aligned} \int \frac{1}{x^2-c^2} \,\mathrm{d}x \\ \text{(因式分解)} \quad &= \int \frac{1}{(x-c)(x+c)} \,\mathrm{d}x \\ \text{(分式裂项)} \quad &= \int \frac{1}{2c}\left( \frac{1}{x-c} - \frac{1}{x+c} \right) \,\mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2c}\ln\left| \frac{x-c}{x+c} \right| + C \end{aligned}

这个以后会单独出文细说。

换元和凑微分

处理 xx 与 x+c\sqrt{x+c} 或 x2x^2 关系的入门招式。

  • 根式换元：遇到 ax+b\sqrt{a x+b}，令 t=ax+bt = \sqrt{a x+b} 往往能化根式为多项式。

  • 凑微分：观察分子是否为分母的导数。例如 ∫xx2−c2dx=12∫d(x2−c2)x2−c2\int \frac{x}{x^2-c^2}\mathrm{dx} = \frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}(x^2-c^2)}{x^2-c^2}。 x(ax2+b)n\frac{x}{(ax^2+b)^n}形的指定杀器。

提示

如果整体匹配上了但系数没匹配上，建立一个直觉，系数是可以随意出入积分号的，这代表外部是可以随意补系数进来的。

基础级 - 绿黄色部分

反三角的积分公式

  • ∫1c2−x2dx=arcsin⁡xc+C\int \frac{1}{\sqrt{c^2-x^2}}\mathrm{dx} = \arcsin\frac{x}{c} + C (没有 1/c1/c)

  • ∫1c2+x2dx=1carctan⁡xc+C\int \frac{1}{c^2+x^2}\mathrm{d}x = \frac{1}{c}\arctan\frac{x}{c} + C (有 1/c1/c)

分部积分法

∫u dv=uv−∫v du\int u \,\mathrm{d}v = uv - \int v \,\mathrm{d}u 或者更直观的“凑微分”的理论形式： ∫f(x)g′(x) dx=f(x)g(x)−∫g(x)f′(x) dx\int f(x)g'(x) \,\mathrm{d}x = f(x)g(x) - \int g(x)f'(x) \,\mathrm{d}x

这应该是基本功，但实际上一开始很多人就完全意识不到怎么设u，或者说根本意识不到可以用分部积分法解决。

LIATE原则是一个用于分部积分法的记忆法则，表示选择函数的优先顺序。具体来说，LIATE代表以下顺序：

  • L: 对数函数 - Logarithmic functions
u=ln⁡xdu=1xdxu=\ln x \quad du=\frac{1}{x}dx

典型应用：∫ln⁡x dx\int \ln x \,\mathrm{d}x

  • I: 反三角函数 - Inverse trigonometric functions
u=arctan⁡xcdu=cx2+c2dxu=\arctan \frac{x}{c} \quad du=\frac{c}{x^2+c^2}dx

典型应用：∫arctan⁡x dx\int \arctan x \,\mathrm{d}x

  • A: 代数函数 - Algebraic functions
u=xdu=dxu=x \quad du=dx

典型应用：∫xsin⁡x dx\int x \sin x \,\mathrm{d}x（又称降幂积分，再下面有特别说）

  • T: 三角函数 - Trigonometric functions
u=sin⁡xdu=cos⁡x dxu=\sin x \quad \mathrm{d}u=\cos x \,\mathrm{d}x

典型应用：∫exsin⁡x dx\int e^x \sin x \,\mathrm{d}x（分部两次的循环积分）

  • E: 指数函数 - Exponential functions
u=exdu=ex dxu=e^x \quad \mathrm{d}u=e^x \,\mathrm{d}x

典型应用：（这个还是老老实实当dv吧……）

优先选择LIATE中靠前的函数作为u，剩余函数作为dv，可以简化计算过程。

以上典型应用读者自证不难。

小心

LIATE 不是物理定律，只是经验法则。可以优先尝试，切勿奉为圭臬。

一条超绝近路

∫1x2±c2dx=ln⁡(∣x2±c2+x∣)+C\int{\frac{1}{\sqrt{x^2\pm c^2}}\mathrm{d}x}=\ln\left(\left|\sqrt{{x}^{2}\pm{c}^{2}}+x\right|\right)+C

我的建议是直接背诵。遇到 1x2+c2\frac{1}{\sqrt{x^2+c^2}} 或 1x2−c2\frac{1}{\sqrt{x^2-c^2}} 时，直接套用对数形式公式，不需要再走三角代换的老路，也是一些红橙区的基础，能省下大量时间。

如果实在想弄清楚为什么，可以前往笔记之二的双曲函数章节

到这里你应该已经学会处理这六种情况及其扩展情况了：

形式方法结果
∫1x2+c2 dx\int{\frac{1}{x^2+c^2}\,\mathrm{d}x}套反三角公式1carctan⁡xc+C\frac{1}{c} \arctan \frac{x}{c} + C
∫1x2−c2 dx\int{\frac{1}{x^2-c^2}\,\mathrm{d}x}因式分解12cln⁡∣x−cx+c∣+C\frac{1}{2c} \ln \left\vert \frac{x - c}{x + c} \right\vert + C
∫1c2−x2 dx\int{\frac{1}{c^2-x^2}\,\mathrm{d}x}因式分解12cln⁡∣c+xc−x∣+C\frac{1}{2c} \ln \left\vert \frac{c + x}{c - x} \right\vert + C
∫1x2+c2 dx\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+c^2}}\,\mathrm{d}x}套积分表ln⁡∣x2+c2+x∣+C\ln \left\vert \sqrt{x^2 + c^2} + x \right\vert + C
∫1x2−c2 dx\int{\frac{1}{\sqrt{x^2-c^2}}\,\mathrm{d}x}套积分表ln⁡∣x2−c2+x∣+C\ln \left\vert \sqrt{x^2 - c^2} + x \right\vert + C
∫1c2−x2 dx\int{\frac{1}{\sqrt{c^2-x^2}}\,\mathrm{d}x}套反三角公式arcsin⁡xc+C\arcsin \frac{x}{c} + C

毕业级 - 橙红色部分

换元之三角代换

当以上路子全部行不通时，根号内平方和/差可以利用三角恒等式尝试消根号：

  • 遇到 a2−x2\sqrt{a^2-x^2}：令 x=asin⁡θx = a\sin\theta，利用 1−sin⁡2θ=cos⁡2θ1-\sin^2\theta = \cos^2\theta。

  • 遇到 a2+x2\sqrt{a^2+x^2}：令 x=atan⁡θx = a\tan\theta，利用 1+tan⁡2θ=sec⁡2θ1+\tan^2\theta = \sec^2\theta。

  • 遇到 x2−a2\sqrt{x^2-a^2}：令 x=asec⁡θx = a\sec\theta，利用 sec⁡2θ−1=tan⁡2θ\sec^2\theta-1 = \tan^2\theta。

PS: 作者真的很讨厌拓展三角函数。

小心

CAUTION: 男生女生特别扣分的两点

  • 积分结束后是 \theta 的函数，回代时可以画出直角三角形，根据边角关系强行还原回x，不要尝试手动解决譬如\tan(\arcsin{x})的问题，几何法真可以秒杀。
  • 换元微分项：换元时千万别忘了 \mathrm{d}x 也要变，例如 x=a\tan\theta \Rightarrow \mathrm{d}x = a\sec^2\theta\,\mathrm{d}\theta。定积分的话上下限也要变。

换元之倒代换

当分母的 xx 次数高于分子，或分母结构为 xn二次型x^n\sqrt{\text{二次型}} 时，直接换元。

  • 操作：令 x=1tx = \frac{1}{t}，则 dx=−1t2dt\mathrm{d}x = -\frac{1}{t^2}\mathrm{d}t。

  • 奇效：它能把深陷分母的 xx 提到分子位置，或将复杂的根式内项转化为容易凑微分的形式。

  • 典型应用：∫1x2x2−c2 dx\int \frac{1}{x^2\sqrt{x^2-c^2}}\,\mathrm{d}x。倒代换后，原积分会瞬间坍缩为简单的三角函数积分。

升降幂积分与回环积分

升降幂这个名字是我自己起的。这种技巧似乎没有统一正式常用的名字，但这个方法是实实在在非常常用。

升降幂积分实际上就是分部积分法的特殊情况，其特殊之特使得我必须拿出来强调一下。他可以处理一个你十分熟悉的函数f(x)的以下两种变体：

升幂积分： ∫f(x) dx=xf(x)−∫xf′(x) dx\int f(x) \,\mathrm{d}x = x f(x) - \int x f'(x) \,\mathrm{d}x 降幂积分： ∫xf(x) dx=xF(x)−∫F(x) dx(其中 F′(x)=f(x))\int x f(x) \,\mathrm{d}x = x F(x) - \int F(x) \,\mathrm{d}x \quad (\text{其中 } F'(x) = f(x))

或者简单点说：

  • 升幂：适用于 f(x)f(x) 积不动但导数很简单的函数（如 ln⁡x,arctan⁡x\ln x, \arctan x）。
  • 降幂：适用于 f(x)f(x) 积得动，但前面的 xx 很碍事的情况（如 xcos⁡xx \cos x）。

针对 x2x2±c2x^2\sqrt{x^2\pm c^2} 或 x2±c2\sqrt{x^2\pm c^2} 这种红区重灾区，可以使用升降幂积分恢复或消耗x因子。又，升降幂积分又经常连接到一类特殊情况：回环积分，名字挺大气，实际上你一看就明白了：

∫x2+c2 dx=xx2+c2−∫x2x2+c2 dx(升幂积分)=xx2+c2−∫x2+c2−c2x2+c2 dx=xx2+c2−∫x2+c2 dx+c2∫1x2+c2 dx2∫x2+c2 dx=xx2+c2+c2∫1x2+c2 dx(<-这是上一节的公式)\begin{align} \int \sqrt{x^2 + c^2} \,\mathrm{d}x &= x\sqrt{x^2 + c^2} - \int \frac{x^2}{\sqrt{x^2 + c^2}} \,\mathrm{d}x \quad\text{(升幂积分)} \\ &= x\sqrt{x^2 + c^2} - \int \frac{x^2 + c^2 - c^2}{\sqrt{x^2 + c^2}} \,\mathrm{d}x \\ &= x\sqrt{x^2 + c^2} - \int \sqrt{x^2 + c^2} \,\mathrm{d}x + c^2 \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + c^2}} \,\mathrm{d}x \\ 2\int \sqrt{x^2 + c^2} \,\mathrm{d}x &= x\sqrt{x^2 + c^2} + c^2 \int \frac{1}{\sqrt{x^2 + c^2}} \,\mathrm{d}x\quad\text{(<-这是上一节的公式)} \end{align}
提示

恭喜

你已经能解决了开头的速逃题了。现在上手试试吧？

小心

非主观题如果真出了红区题，建议还是检查一下之前步骤对不对。所有红区题我几乎没在非主观题里见到实用场景。最大的应用场景是迷途知返检查错误。

感谢Google Gemini对本文提供的大力支持。眼花缭乱的符号真的很难看清有没有错漏。

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